اعداد فیبوناچی چیست؟
لئوناردو دا پیزا ( به ایتالیایی: Leonardo da Pisa) یا به عبارت مشهورتر لئوناردو فیبوناچی (Fibonacci) یکی از بزرگ‌ترین ریاضیدانان اروپا در سال 1175 در شهر پیزا متولد شد. وی به علت حرفه پدریش که بازرگانی بود به کشورهای بسیاری از جمله مصر و سوریه و ... مسافرت نمود. فیبوناچی در سال 1200 به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود. پدر فیبوناچی گوگلیمو (Guglielmo) بوناچی (مهربان، ملایم bonacci ) خوانده می‌شد. مادر لئوناردو آلساندرا، (Alessandra) زمانی که لئو نه سال داشت درگذشت. لئوناردو پس از مرگش فیبوناچی نام گرفت. ( برگرفته از فیلیوس بوناچی به معنای پسر بوناچی )معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن از زمان امپراتوری روم رایج بوده‌است از جمله مهم‌ترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده‌است. وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می‌گوید : « نه رقم هندی وجود دارد: ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به‌وسیله آنها و همچنین علامت ۰ که در عربی صفر نامیده میشود میتوان هر عددی را به شیوهای که توضیح داده خواهد شد نوشت. »
اعداد فیبوناچی
در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته میشود که بصورت زیر تعریف میشود :
غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از :
۰٬ ۱٬ ۱٬ ۲٬ ۳٬ ۵٬ ۸٬ ۱۳٬ ۲۱٬ ۳۴٬ ۵۵٬ ۸۹٬ ۱۴۴٬ ۲۳۳٬ ۳۷۷٬ ۶۱۰٬ ۹۸۷٬ ۱۵۹۷٬ ۲۵۸۴٬ ۴۱۸۱٬ ۶۷۶۵٬ ۱۰۹۴۶٬
۱۷۷۱۱
دنباله فیبوناچی
در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد :
« فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگی‌شان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می‌کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می‌کنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی‌میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شده‌اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت. »
فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، میدانیم که x۲=۱ , x۱=۱ ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد میشوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (xn) . اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوش های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱ ، پس خواهیم داشت :
x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴, ...
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده.
رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:
برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ میشود.
جمله عمومی دنباله فیبوناچی
چند فرمول برای احتساب جملهٔ n ام دنبالهٔ فیبوناچی ، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.
یکی از این فرمول هاست.φ (فی) همان عدد طلایی است که برابر با : میباشد .
ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی
روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم :
نسبت دو عضو متوالی دنباله
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم :
۱۰-------۹--------۸--------۷---------۶-------۵-------۴-------۳-------۲-------۱-------شماره جمله
۵۵------۳۴------۲۱-------۱۳-------۸-------۵-------۳-------۲-------۱-------۱-------مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک میشود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد . نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند .
معادله خط
معادلهٔ خطی به صورت y = mx در نظر می‌گیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. میدانیم اگر m گنگ باشد، خط y = mx از هیچ نقطهای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیمφ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطهای با x و y صحیح ( جز مبدأ ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ ( ۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵ ، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر میشود را می‌بینید:
... ، (۵۵، ۳۴) ، (۳۴، ۲۱) ، (۲۱، ۱۳) ، (۱۳، ۸) ، (۸، ۵) ، (۵، ۳) ، (۳، ۲) ، (۲، ۱) ، (۱، ۱) صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند .
تركیب دنباله فیبوناچی در ستاره داوود توسعه یافته (قسمت اول)
هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به یك صحنه ، مجسمه یا بنا مدتها از تركیب تناسب طلایی استفاده كرده‌اند . تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدف‌های دریایی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و یا ساختار هندسی بازوهای میله‌ای كهكشانهای مارپیچی موجود در كیهان یافت میشود . امروزه سرنخ‌هایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه نانو تكنولوژی ) بدست آمده است . در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به هر حال به كار بردن این نسبت در طراحی‌های دستی و رشته‌های هنری كار راحتی نمی‌باشد ، برای اینكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مركزی نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد . به علت سهولت در ترسیم‌ها و كارهای عملی ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته میشود . عكس‌های فوق مربوط به صدف‌های دریایی ، حلزون شنوایی گوش ، یك گردباد و یك كهكشان است . در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسیر دوران مارپیچ طلایی یا فیبوناچی در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده میشود .
توسعه هندسی دنباله فیبوناچی یا سری از اعداد :
این مستطیل را ، مستطیل فیبوناچی نیز می‌نامند .
برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه ) هر مربع یك كمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌كنیم . به این مارپیچ بدست آمده ، اسپیرال لگاریتمی هم گفته میشود .
در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ایم یعنی سری اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطیل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ایم . رسم فوق توسط نرم‌افزار اتوكد رسم و با دقت 100.000.000/1 اندازه گذاری شده است و طریقه رسم به حد كافی واضح و روشن میباشد و نكته جالب توجه اینكه برای رسم مارپیچ به این روش ، می‌بایست هفت كمان رسم شود كه عدد صحیح 12 برای شعاع كمان پنجم بدست می‌آید . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .
به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هایی كه خطوط با زاویه قائمه یكدیگر را قطع كرده‌اند ، میتوان مستطیل و مارپیچ طلایی فیبوناچی را در رسم توسعه یافته ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسیار جزیی این رسم با رسم قبلی مشاهده میشود آنهم در كمانهای 5 ، 6 ، 7 به علت تغییر جزیی در قطرهای آبی رنگ و در تناسبات هندسی اختلافی وجود ندارد ، كه دال بر این موضوع است كه تناسب طلایی در رسم ستاره داوود توسعه یافته جاری میباشد و در مباحث بعدی توضیح خواهیم داد كه كلیه موجوداتی كه در آنها تناسبات طلایی دیده میشود ، تناسب خود را مدیون این ترسیم‌ها و ساختارهای هندسی در ستاره داوود توسعه یافته هستند .
در رسم فوق مستطیل و مارپیچ طلایی به مركز رسم ستاره داوود توسعه یافته انتقال داده شده است .
در رسم فوق مستطیل و مارپیچ طلایی به نقطه دیگری انتقال داده شده است .
اینك اگر در این دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلی‌اش تقسیم كنیم یك چنین سری را بدست می‌آوریم :
1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66... ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، ....... ، 233/144=1.61805......
كه هر چقدر جلوتر برویم به‌نظر می‌آید كه به یك عدد مخصوص می‌رسیم . این عدد را عدد طلایی می‌نامند كه این عدد تقریبا برابر است با : 1.618033................ روش جبری برای بدست آوردن
عدد طلایی :
مستطیلی به عرض 1 واحد و طول x را در نظر می‌گیریم مسلما x بزرگتر از 1 میباشد . اینك باید مقدار x را چنان تعیین كنیم ( بدست آوریم ) كه اگر مربعی به ضلع 1 واحد را از این مستطیل جدا نماییم ، مستطیل بدست آمده كوچكتر ، متناسب مستطیل بزرگتر قبلی باشد ، یعنی x/1=1/(x-1) a به بیان ساده تر ، نسبت طول به عرض مستطیل اول برابر نسبت طول به عرض مستطیل بدست آمده ( مستطیل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفین تناسب ، یك معادله درجه 2 بدست می‌آید یعنی x²-x-1=0 و با ریشه‌یابی این معادله به ریشه‌های 1.6180 و 0.6180- دست می‌یابیم . روشهای هندسی برای بدست آوردن عدد طلایی : اگر یك مثلث متساوی‌الاضلاع رسم كنیم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دایره‌ای رسم كنیم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دایره نارنجی ) و وسط دو ضلع مثلث را یافته و پاره خطی از آن دو نقطه تا محیط دایره ، رسم كنیم دو پاره خط با نسبت طلایی بدست می‌آید ( پاره خط زرشكی و سرخ آبی ) یعنی
69.2820323/42.81865077=1.61803398...........
رسم زیر روش دیگری برای رسم مستطیل طلایی ویژه و تناسبات طلایی ، و همچنین بدست آوردن عدد طلایی را نشان می‌دهد .
جهت رسم یك مستطیل طلایی به نسبت عدد طلایی ابتدا یك مربع به ضلع یك واحد كشیده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پایینی این مربع را پیدا می‌كنیم . سپس یك قوس با شعاعی به اندازه وسط ضلع پایینی مربع تا گوشه سمت راست بالا می‌كشیم تا طول مستطیل معلوم شود . در رسم فوق یك دایره را به پنج قسمت مساوی تقسیم می‌كنیم . اگر این نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنیم ، مسلما یك پنج ضلعی منتظم خواهیم داشت . اینك اگر نقاط را دو به دو به هم متصل كنیم یك ستاره پنج پر كه در داخل آن یك پنج ضلعی منتظم دیگر قرار دارد ، حاصل میشود . در این وضعیت پاره خط قرمز به همراه پاره خط بنفش یك تناسب طلایی را نشان می‌دهند و به این دلیل مهم ستاره پنج پر برای چشم بیننده ، شكل هندسی خوش‌آیند و جذابی است كه بیانگر این موضوع میباشد كه نسبت طلایی در سایر سیستم‌های شمارش اعداد نیز آشكار میشود و این ساختار مربوط به اعداد مرموز ( 2 ، 4 ، 6 ) میشود .
در رسم فوق یك دایره را به هشت قسمت مساوی تقسیم می‌كنیم . اگر این نقاط را به نقاط مجاور خود وصل كنیم ، مسلما یك هشت ضلعی منتظم خواهیم داشت . اینك اگر نقاط را دو به دو ، چهار به چهار و شش به شش به هم متصل كنیم دو مربع تو در تو حاصل میشود . رسم سبز رنگ مربوط به معماری و هنرهای اسلامی میشود كه برگرفته از مسجدالاقصی یا قدس هشت وجهی است . رسم فوق طریقه دیگری برای پیدا كردن تركیب تناسب طلایی است . به طور مختصر مثلث قائم‌الزاویه‌ای را رسم می‌كنیم كه طول ضلع افقی آن دو برابر ضلع عمودی باشد . كمان اول را به شعاع ضلع عمودی از مركز A رسم می‌كنیم تا وتر مثلث را قطع كند . سپس از محل تقاطع ، كمانی به مركز B رسم كرده تا ضلع افقی را قطع كند . دو پاره خط سبز و بنفش رنگ تركیب تناسب طلایی را مشخص می‌كنند .
تركیب دنباله فیبوناچی در ستاره داوود توسعه یافته (قسمت دوم)
اهرام :
جالب است بدانیم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطیل طلایی كه نسبت طلایی نامیده میشود ، در بسیاری از طرح‌های هنری از قبیل معماری و خطاطی ظاهر میشود . مطابق تحقیقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلایی است . همچنین دیوارهای معبد پارتنون از مستطیل‌های طلایی ساخته شده است ! زیرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطیل‌ها با نسبت‌های طلایی به چشم خوشایندتر هستند و این موضوع دال بر این واقعیت است كه این تناسبات هندسی در ذات انسانها نیز شكل گرفته‌اند !
تعریف ریاضی سری اعداد یا دنباله فیبوناچی و عدد طلایی (فی Φ ) :
غیر از دو عدد اول (0 و 1) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :
۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴,۴۱۸۱,۶۷۶۵,۱۰۹۴۶
این سری از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده است . طبق تعریف :
مقدار عددی حد فوق به عدد فی یا همان .......... 1.618033 می‌رسد . اگر عدد فی را بتوان دو برسانیم مثل این است كه یك واحد به عدد فی افزوده باشیم یعنی Φ²=Φ+1 و اگر عدد یك را بر فی تقسیم كنیم مثل این است كه یك واحد از عدد فی كم كرده باشیم یعنی :
1/Φ=Φ-1
عدد فی را در مبنای دوجینی میتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعی ، حقیقی و درستی جهت فی میباشد برای اینكه :
1+(7/12)+(5/12/12)=1.618055555555555555555.......... 233/144=1.618055555555555555......
همانطور كه میدانیم عدد 233 توالی دوازدهم سری یا دنباله فیبوناچی است یعنی همان تعداد خرگوشها در پایان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبنای دوجینی برای مقدار فی بیانگر این موضوع است كه سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی میشود كه تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذیر است . بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، عدد فی كه در مبنای دهدهی به صورت عددهای كسری متناوب در می‌آید در مبنای دوجینی چنین نیست و میتوان به مقدار فیكس شده 1.75 دست یافت .
مایاهایی كه در خلال سالهای 2000 تا 900 قبل از میلاد ، ساكن آمریكای جنوبی بوده‌اند ، چنین به نظر می‌رسد كه برای رصد كردن حركات متغیر اجرام آسمانی ، اهرامی بنا نهادند و تقویم شمسی دقیقی وضع كردند . همچنین با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پیش بینی و مراسم قربانی كردن انسانها را تدارك می‌دیده‌اند و عقیده بر این داشتند كه این كار آنها خشم خدایان را از آنها برطرف می‌كند . به یقین میتوان گفت كه مطالب و موضوعات بسیار مهمی در علوم بشریت در زمینه ریاضیات ، هندسه و نجوم مفقود و از بین رفته است و فقط نشانه‌های تلخ و ناخوشایندی از آن دانسته‌ها در ساخته‌های دست بشر باقیمانده است كه در مباحث بعدی سعی خواهیم كرد این دانسته‌های از بین رفته را بازیابی نماییم . البته ما باید مابین علم و جنایت فرق قائل شویم . سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد . این الگو را می توان در گلبرگ‌ها یا دانه‌های بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس ، گل داوودی ، گل كلم ، میوه‌های كاج و ... مشاهده كرد . خود انسان از ناف به نسبت فی تقسیم میشود . این نسبت نقش پیچیده‌ای در پدیده‌هایی مانند ساختار كریستال‌ها ، سالهای نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شكست نور در شیشه ، تركیب‌های موسیقی ، ساختار سیاره‌ها و حیوانات بازی می‌كند . علم ثابت كرده است كه این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد فی را یك نسبت الهی می‌دانسته‌اند . از زمانی كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلایی كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شیفتگی و شیدایی بیشتری نسبت به كارهای آنها از خود نشان دادند . مستطیل‌های طلایی ، مانند نسبت طلایی فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بین مثال‌های بی‌شمار از وجود این نسبت و یكی از برجسته‌ترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می‌كنند و دور یكدیگر می‌تابند . در حالی كه نسبت طلایی و مستطیل طلایی جلوه‌های زیبایی را از طبیعت و ساخته‌های دست انسان به نمایش می‌گذارد ، جلوه دیگری از این شكوه وجود دارد كه زیبایی‌های تحرك را به نمایش می‌گذارد . یكی از بزرگ‌ترین نمادهایی كه می‌تواند رشد و حركات كاینات را نشان دهد ، اسپیرال طلایی است . اسپیرال طلایی كه به آن اسپیرال لگاریتمی و اسپیرال متساوی‌الزاویه نیز می‌گویند هیچ حدی ندارد و شكل ثابتی است . روی هر نقطه از اسپیرال می توان به هر یك از دو سو تا بی‌نهایت حركت كرد . از یك سو هرگز به مركز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم . هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میكروسكوپ مشاهده میشود همان منظره‌ای را دارد كه وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم . دیوید برگامینی در كتاب ریاضیاتش خاطرنشان می‌كند كه منحنی ستاره‌های دنباله‌دار از خورشید كاملا شبیه به اسپیرال لگاریتمی است . عنكبوت شبكه تارهای خود را به صورت اسپیرال لگاریتمی می‌بافد . رشد باكتری‌ها دقیقاً براساس رشد منحنی اسپیرال است . هنگامی كه سنگ‌های آسمانی با سطح زمین برخورد می‌كنند ، مسیری مانند اسپیرال لگاریتمی را طی می كنند . عدد فی Φ عددی مربوط به خلقت پروردگار یكتا است .
اسب‌های آبی ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌های اقیانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌های جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌های گل آفتاب‌گردان و چیدمان گل مروارید ، همه به صورت اسپیرال لگاریتمی است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بیرون كاملاً در مسیری به صورت اسپیرال حركت می‌كنند . طرح مطالب در این زمینه بسیار بسیار زیاد است كه در آینده به آن خواهیم پرداخت .
امروزه در طراحی مانیتورهای LCD پهن ( wide ) از این تناسب بهره می‌جویند یعنی دقت 1050×1680 یعنی 1.6×1050=1680 . برای اینكه داشتن نما و دید در این تناسب برای طراحان ، گرافیست ها و ..... ضروری است . موضوعی كه در گذشته به آن اهمیت داده نمی‌شد ولی صنعت سینما و ..... آن را لازم دانست .
اصول كار با انواع فیبوناچی
انواع ابزارهای فیبوناچی در بازارهای مالی، روشی برای تحلیل بازگشت یا ادامه روند می باشد. از منظری انواع ابزارهای فیبوناچی نقاط حمایت و مقاومت می باشند كه با ابزارها و روش های گوناگون رسم می شوند. این سطوح بازگشت بر خلاف حمایت و مقاومت های قبلی كه تنها قیمتی خاص را نقطه حساس تلقی می كردند می توانند قیمتی خاص، منحنی روی نموداری، خطی مورب یا زمان خاصی را نقطه حساس حمایت یا مقاومت تعریف كنند. در استفاده از ابزارهای فیبوناچی درصدها اهمیتی فوق‌العاده دارند. عموم این درصدها از نسبت درصدهای بین اعداد فیبوناچی بدست می آیند. به غیر از چند عدد ابتدای سری اعداد فیبوناچی، هر كدام از اعداد دنباله، تقریبا 1.618 برابر عدد قبل از خود هستند (نسبت طلایی) و هر عدد 0.618 برابر عدد بعد از خود می باشد. این نسبت ها به درصد به ترتیب 161.8 درصد و 61.8 درصد می شوند. درصدهای دیگری نیز مهم هستند كه در زیر می آید. تقسیم عدد اول به عدد دوم سری اعداد فیبوناچی یك به یك یا به عبارتی 100 درصد را نشان می دهد. تقسیم عدد دوم به عدد سوم سری اعداد فیبوناچی 0.5 یا به عبارتی 50 درصد را نشان می دهد. در اعداد بالاتر سری اعداد فیبوناچی و تقسیم هر عدد به دو عدد بعد از آن، مشاهده می شود حاصل تقسیم به 38.2 درصد تمایل می كند. در اعداد بالاتر سری اعداد فیبوناچی و تقسیم هر عدد به سه عدد بعد از آن، مشاهده می شود حاصل تقسیم به 23.6 درصد تمایل دارد. این تناسبات در بازارهای بورس بقدری مقدس شده كه بیشتر معامله کنندگان به آن احترام گذاشته و بدقت آنها را مراعات می كنند و نقاطی برای ورود و خروج از معاملات تلقی میشوند و شاید این پدیده دال بر این باشد كه حس طمع و ترس انسانها در جهت كسب سود و یا فرار از زیان و حفظ سرمایه با تناسبات طلایی بشدت گره خورده است .